曲线积分化简：如何将∫₀¹ y² / √(1-y²) dy 化简为∫₀^(π/2) sin²t dt？

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曲线积分化简求解

如何化简题目给出的积分式？题目要求对y进行积分，但第三步的积分式却变成对sin(t)积分。求教大佬们，如何得出这个化简结果？

解答

题目中的积分式并没有采用极坐标变换，而是直接进行了变量替换。

记y=sin(t)，当y在(0,1)取值时，t在(0,π/2)取值。在这个区间内，sin(t)和cos(t)均为正值。

使用y=sin(t)进行替换：

∫0^1 y^2 / sqrt(1-y^2) dy
= ∫0^(π/2) sin^2(t) / sqrt(1-sin^2(t)) d(sin t)
= ∫0^(π/2) sin^2(t) / sqrt(cos^2(t)) cos(t) dt
= ∫0^(π/2) sin^2(t) dt

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