Go Gonum quad 处理无限区间时怎样选择求积规则

用 Gonum 的 quad.Fixed 计算无限区间积分时，最稳妥的判断顺序是：先看边界，再看被积函数有没有特殊权函数。对一般的单侧或双侧无限区间，通常把 rule 保持为 nil；对显式的高斯权函数积分，才选择 quad.Hermite{}。不要把带 math.Inf 的边界直接交给 quad.Legendre{}。

官方文档：https://pkg.go.dev/gonum.org/v1/gonum/integrate/quad

一句话记忆：无限边界不等于 Hermite。一般函数先用 rule=nil 让 Gonum 做区间变换；只有积分本身符合 e^(-x^2) × 剩余函数 的形式，才让 Hermite 接管权重。

先把问题分成三种区间

这次遇到的场景通常不是“选哪个函数名”这么简单，而是三个条件叠在一起：积分区间是否有限、被积函数是否带权、传给规则的函数到底代表完整被积函数还是去掉权重后的部分。

因此，“看见无限边界就换 Hermite”是一个常见误判。Hermite 的关键不是边界无限，而是权函数匹配。

rule=nil 怎样接住无限区间

在 quad.Fixed 中不传规则时，Gonum 会根据边界做变量变换。例如右边界是正无穷时，会把原区间转换到 [0,1]；左右都是无穷时，会转换到 [-1,1]。变换后的函数会带上相应的导数因子，最后交给有限区间上的 Legendre 规则。

这个默认路径适合“函数本身没有特殊求积权重”的情况。比如下面的期望值积分上限是正无穷，回调函数返回完整的被积函数，规则交给 Gonum 默认处理：

package main

import (
	"fmt"
	"math"

	"gonum.org/v1/gonum/integrate/quad"
)

func main() {
	// f 返回完整被积函数；正无穷边界交给 quad.Fixed 的默认变换。
	f := func(x float64) float64 {
		// 这个衰减项让远端区间的贡献逐渐变小。
		return (x*x + 1) * math.Exp(-x)
	}

	// rule 传 nil，表示让 Gonum 根据无限边界选择有限区间映射。
	value := quad.Fixed(f, 0, math.Inf(1), 80, nil, 0)
	fmt.Printf("积分近似值：%.8f\n", value)
}

这里的 80 是求积点数，0 表示串行调用回调函数。它们都不是“无限区间专用参数”：点数影响近似精度，最后一个参数影响回调是否允许并发。

为什么不能显式把 Legendre 和无限边界绑在一起

quad.Legendre{} 代表有限边界上的无权积分。它并不会自动替你处理 math.Inf(1) 或 math.Inf(-1)。如果显式传入这个规则，quad.Fixed 会认为你已经保证规则假设与区间相符，后续由 Legendre 检查边界；无限边界会落入它不支持的条件。

package main

import (
	"math"

	"gonum.org/v1/gonum/integrate/quad"
)

func main() {
	// 这里的函数没有特殊权函数，只是一个普通的衰减函数。
	f := func(x float64) float64 { return math.Exp(-x) }

	// 不要这样把无限上界直接交给显式 Legendre；它要求有限边界。
	_ = quad.Fixed(f, 0, math.Inf(1), 40, quad.Legendre{}, 0)
}

实用规则是：有限区间可以显式使用 quad.Legendre{} 来表达意图；只要边界含无穷，且没有明确的特殊权函数，就回到 nil。这样既保留了 Gonum 的区间转换，也不会把规则的有限边界假设写反。

什么时候应该选择 Hermite

quad.Hermite{} 的数学假设是：

∫[-∞,+∞] e^(-x^2) g(x) dx

Hermite 的节点和权重已经负责 e^(-x^2) 这一部分，所以传给 quad.Fixed 的函数是 g，而不是把指数权重再乘一次。这个区别很容易在重构时丢掉。

实际代码应使用 math.Inf(-1) 和 math.Inf(1) 表达全实数区间，不能用会触发编译期常量除零的写法代替：

package main

import (
	"fmt"
	"math"

	"gonum.org/v1/gonum/integrate/quad"
)

func main() {
	// 只传高斯权之外的 g(x)，避免重复乘 e^(-x^2)。
	g := func(x float64) float64 { return x * x }

	// Hermite 的区间必须是负无穷到正无穷。
	value := quad.Fixed(g, math.Inf(-1), math.Inf(1), 40, quad.Hermite{}, 0)
	fmt.Printf("带高斯权的积分近似值：%.8f\n", value)
}

如果你的完整被积函数是 h(x)，但它并不自然地拆成 e^(-x^2)g(x)，就不要为了使用 Hermite 强行改写。继续使用 rule=nil 通常更容易保持函数语义。

把采样点数和并发参数纳入工作流

规则选对之后，还要决定 n。固定点数求积不会替你判断“这个函数已经收敛”。对同一个积分，可以先用一组递增的 n 得到近似值，再比较相邻结果的差值；如果差值仍然明显，就继续增加点数或重新检查被积函数在变换后是否足够平滑。

package main

import (
	"fmt"
	"math"

	"gonum.org/v1/gonum/integrate/quad"
)

func main() {
	// 选择有衰减的完整被积函数，便于观察点数变化带来的差异。
	f := func(x float64) float64 { return math.Exp(-x) / (1 + x*x) }

	// 用多个 n 做收敛对比；每次都保留默认的无限区间处理。
	for _, n := range []int{20, 40, 80, 160} {
		value := quad.Fixed(f, 0, math.Inf(1), n, nil, 0)
		fmt.Printf("n=%d value=%.10f\n", n, value)
	}
}

concurrent 大于 0 时，Gonum 可以同时调用多个 f。只有当回调函数没有不安全的共享可变状态，并且单次计算足够昂贵时，并发才可能值得开启；它不会改变规则的数学假设，也不会把 Legendre 变成无限区间规则。

一套不容易选错的判断顺序

1. 先看边界：有限区间可使用 nil 或显式 quad.Legendre{}；出现无穷边界时，不要显式传 Legendre。
2. 再看权函数：只有全实数区间且积分确实是 e^(-x^2)g(x)，才传 quad.Hermite{}。
3. 确认回调含义：默认规则的回调返回完整被积函数，Hermite 的回调只返回去掉高斯权后的剩余函数。
4. 最后调 n：用递增点数比较结果，别把某个固定数字当成所有函数的通用答案。
5. 再决定并发：确认回调可并发后再设置 concurrent，不要把它当作精度开关。

这样处理时，规则选择就从“看到无限边界凭经验猜”变成了可复用的工作流：边界决定是否保留默认映射，权函数决定是否使用 Hermite，收敛对比决定点数。

常见问题

无限区间一定要用 Hermite 吗？

不一定。一般无限区间积分优先保留 rule=nil；Hermite 还要求高斯权函数与全实数区间同时匹配。

可以传自定义规则处理无限边界吗？

可以，但规则必须自己满足边界和权重假设。传入非 nil 规则后，Gonum 不再替你做默认的无限区间变量变换，调用方要承担这部分契约。

为什么 n 增大后结果仍不稳定？

可能是函数在变换后的端点附近不够平滑、积分本身不收敛，或者规则与权函数不匹配。先确认函数的数学边界，再做递增 n 对比，不要只重复增加点数。