Go Gonum Hermite 求积为什么包含权函数约定

如果你在 Go Gonum 里看到 quad.Hermite{} 的示例，却疑惑为什么调用时必须给出负无穷到正无穷的区间，关键不在参数写法，而在这条规则已经把高斯型权函数写进了数学约定。Hermite 近似的是 ∫[-∞,+∞] e^(-x²) f(x) dx，其中 f(x) 是你传给 quad.Fixed 的剩余函数。

Hermite 不是普通的“全实数区间积分器”。它负责节点、权重和 e^(-x²) 权函数的组合；代码里只应传入权函数之外的部分，并把上下限写成 math.Inf(-1) 与 math.Inf(1)。

官方地址：https://pkg.go.dev/gonum.org/v1/gonum/integrate/quad

本文按一个常见排障现场展开：先确认 Hermite 到底计算什么，再给出可直接套用的 Go 写法，最后说明标准正态期望怎样做变量变换，以及结果不对时应该先查哪三项。

先把 Hermite 的“权”看成契约

Gonum 的 quad.Fixed 把固定节点求积抽象成“节点 xᵢ、权重 wᵢ 和函数值 f(xᵢ) 的加权和”。对于 Hermite 规则，官方文档把目标写成：

∫[-∞,+∞] e^(-x²) f(x) dx ≈ Σ wᵢ f(xᵢ)

因此权重并不是一组与区间无关的普通采样系数。它们是为平方指数权函数准备的，节点也分布在整个实数轴上。把它拿去理解有限区间上的无权积分，或者在 f 里再乘一次 e^(-x²)，都会改变你实际近似的对象。

上下限为什么必须是负无穷和正无穷

Hermite.FixedLocations 会检查传入的边界：min 必须是负无穷，max 必须是正无穷。这个检查不是形式主义，它保证调用方使用的是 Hermite 规则对应的整个实数轴。如果写成 0 到 1，即使函数本身只在这段区间有意义，也不应继续使用 Hermite；应改用适合有限区间的规则，例如 quad.Legendre{}。

package main

import (
	"fmt"
	"math"

	"gonum.org/v1/gonum/integrate/quad"
)

func main() {
	// Hermite 只负责 e^(-x²) 之外的函数部分；这里计算 x² + 1。
	f := func(x float64) float64 {
		return x*x + 1
	}

	// Hermite 的区间契约是整个实数轴，样本数必须为正。
	value := quad.Fixed(f, math.Inf(-1), math.Inf(1), 16, quad.Hermite{}, 0)
	fmt.Printf("integral = %.8f\n", value)
}

这个调用对应的数学对象是 ∫e^(-x²)(x²+1)dx，而不是 ∫(x²+1)dx。最后一个参数是并发评估数；传入 0 表示串行计算，适合先把求积语义讲清楚。

函数里不要再次乘一遍权函数

最容易出现的误差是把“目标积分的完整被积函数”直接交给 Hermite。假设目标本来就是 ∫e^(-x²)q(x)dx，正确写法是传 q。如果把 e^(-x²)q(x) 作为 f，Hermite 的权重还会再贡献一次指数因子，实际求到的是 ∫e^(-2x²)q(x)dx。

// 正确：把权函数之外的 q(x) 交给 Hermite。
q := func(x float64) float64 {
	return x*x + 2
}
value := quad.Fixed(q, math.Inf(-1), math.Inf(1), 32, quad.Hermite{}, 0)

// 错误示意：这会把 e^(-x²) 乘进 Hermite 已经约定的权重，导致权函数重复。
wrong := func(x float64) float64 {
	return math.Exp(-x*x) * q(x)
}
_ = value
_ = wrong

这里的判断可以记成一句话：先把目标积分写成 e^(-x²) × 剩余函数，再把“剩余函数”作为 Go 闭包传入。不要因为示例中的闭包叫 f，就把完整被积函数机械地塞进去。

标准正态期望要先做一次变量变换

Hermite 的权函数是 e^(-x²)，标准正态密度却是 1/√(2π)e^(-z²/2)。令 z=√2x，就得到：

E[g(Z)] = 1/√π ∫[-∞,+∞] e^(-x²) g(√2x) dx

所以 Go 代码里应当把 g 改写成 g(√2x)，调用 Hermite 后再除以 √π。这个缩放因子属于变量变换，不属于 Hermite 权重本身。

package main

import (
	"fmt"
	"math"

	"gonum.org/v1/gonum/integrate/quad"
)

func main() {
	// g 描述标准正态变量 Z 上真正关心的函数。
	g := func(z float64) float64 {
		return z*z + 2
	}

	// 变量变换 z = sqrt(2) * x，把 g 放到 Hermite 的剩余函数位置。
	transformed := func(x float64) float64 {
		return g(math.Sqrt2 * x)
	}

	// Hermite 先给出带 e^(-x²) 权的积分，再除以 sqrt(pi) 得到期望。
	integral := quad.Fixed(transformed, math.Inf(-1), math.Inf(1), 32, quad.Hermite{}, 0)
	expectation := integral / math.Sqrt(math.Pi)
	fmt.Printf("E[g(Z)] = %.8f\n", expectation)
}

结果不符合预期时先看这张表

样本数 n 只改变 Hermite 节点和权重的数量，并不会把规则变成有限区间积分器。对于边界有限、没有平方指数权函数的目标，先重新选择规则，再谈增加采样点。

最后的判断方式

遇到“为什么 Hermite 求积包含权函数”的疑问，可以按三层判断：第一层看目标积分能否写成 e^(-x²)f(x)；第二层看区间是否确实是整个实数轴；第三层看是否把变量变换的常数因子留在了 Hermite 调用之外。三层都匹配时，quad.Fixed 的调用就只是在执行 Gonum 文档定义的节点加权和。

Hermite 可以直接算有限区间吗？

不应这样用。Hermite 的实现要求边界为负无穷和正无穷；有限区间应选择与目标区间及权函数匹配的规则。

Hermite 权重是不是普通采样权重？

不是。它们和 e^(-x²) 的权函数约定绑定，用来近似带该权函数的全实数积分。

为什么正态期望还要除以平方根 pi？

因为 z=√2x 把标准正态密度转换成 1/√π · e^(-x²)；除以 √π 是密度归一化后的常数因子。