如何利用高斯公式计算曲面x²+y²+z²=4内侧的曲面积分？

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曲面积分求解策略

本题求解要求计算的积分 i 可以表示为曲面 ∑ 上的曲面积分：

i = ∫∫Σ (x + 1) dy dz + (2y + 2) dz dx + (3z + 3) dx dy

其中，∑ 为曲面 x² + y² + z² = 4 的内侧。

高斯公式的应用

对于曲面积分，可以利用高斯公式进行求解。高斯公式将曲面积分转换为体积分：

∫∫Σ p dy dz + q dz dx + r dx dy = ∫∫∫Ω (∂p/∂x + ∂q/∂y + ∂r/∂z) dx dy dz

其中，p、q 和 r 分别为被积函数 x + 1、2y + 2 和 3z + 3，Ω 是曲面 ∑ 围成的体积。

内侧曲面积分的修正

由于曲面 ∑ 是目标曲面的内侧，需要在高斯公式中添加负号：

-∫∫Σ (x + 1) dy dz + (2y + 2) dz dx + (3z + 3) dx dy = ∫∫∫Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dx dy dz

由此，可以计算积分 i 的具体值。

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