AVL树时间复杂度分析

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由于 AVL 树的高度为 O(log n)，因此 AVLTree 中的 search、insert 和 delete 方法的时间复杂度为 O(log n)。 AVLTree 中的 search、insert 和 delete 方法的时间复杂度取决于树的高度。我们可以证明树的高度是O(log n)。

设 G(h) 表示高度为 h 的 AVL 树中的最小节点数。显然，G(1)为1，G(2)为2。高度为h的AVL树中最小节点数 >=3 必须有两棵最小子树：一棵高度为h - 1，另一棵高度为h - 2. 因此，

G(h) = G(h - 1) + G(h - 2) + 1

回想一下，索引 i 处的斐波那契数可以使用递推关系 F(i) = F(i - 1) + F(i - 2) 来描述。因此，函数G(h)本质上与F(i)相同。可以证明

h < 1.4405 log(n + 2) - 1.3277

其中 n 是树中的节点数。因此，AVL树的高度是O(log n)。

search、insert 和 delete 方法仅涉及树中路径上的节点。 updateHeight 和 balanceFactor 方法在路径中的每个节点的恒定时间内执行。 balancePath 方法在路径中的节点的恒定时间内执行。因此，search、insert 和 delete 方法的时间复杂度为 O(log n)。

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