基数是什么？简单易懂讲解

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2、 基数是集合论中用于刻画集合“大小”的基本概念。若两个集合的元素能够建立一一映射（即双射），则称这两个集合是等势的（或对等的）。例如，由三位学生组成的集合与由三辆自行车组成的集合，由于元素个数相同且可逐个配对，因此它们等势，拥有相同的基数。

3、 基数的运算

4、 在基数上可以自然地定义加法、乘法和幂运算，这些运算是有限自然数算术在无限情形下的推广。对于任意两个集合 $ X $ 和 $ Y $，其不交并定义为
$$ X + Y = {(x, 0) \mid x \in X} \cup {(y, 1) \mid y \in Y}, $$
此时它们的基数之和定义为
$$ |X| + |Y| = |X + Y|. $$
若 $ X $ 与 $ Y $ 本身互不相交，则有 $ |X| + |Y| = |X \cup Y| $。基数的乘法定义为
$$ |X| \cdot |Y| = |X \times Y|, $$
其中 $ X \times Y $ 表示 $ X $ 与 $ Y $ 的笛卡尔积；而幂运算定义为
$$ |X|^{|Y|} = |X^Y|, $$
其中 $ X^Y $ 表示所有从 $ Y $ 到 $ X $ 的函数所构成的集合。这些运算将有限集合上的初等算术系统性地延拓至无穷基数，构成了基数理论的核心框架。

5、 基数之间具有可比性

6、 设集合 $ A $ 与 $ B $ 的基数分别为 $ a $ 和 $ \beta $，即 $ |A| = a $，$ |B| = \beta $。若存在 $ A $ 到 $ B $ 的某个子集的一一对应关系，则称 $ a $ 不大于 $ \beta $，记作 $ a \leq \beta $（或等价地 $ \beta \geq a $）。若 $ a \leq \beta $ 且 $ a \neq \beta $（即 $ A $ 与 $ B $ 之间不存在双射），则称 $ a $ 小于 $ \beta $，记为 $ a < \beta $。

7、 在选择公理成立的前提下，可证得基数满足三分律：对任意两个集合，其基数必可比较大小——即对任意基数 $ a $、$ \beta $，三者之一恒真：$ a < \beta $、$ a = \beta $ 或 $ a > \beta $；不存在既不能嵌入对方、也不能被对方嵌入的两个集合。

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