贪心算法局限，整数线性规划解法详解

本篇文章主要是结合我之前面试的各种经历和实战开发中遇到的问题解决经验整理的，希望这篇《贪心算法局限，整数线性规划解法解析》对你有很大帮助！欢迎收藏，分享给更多的需要的朋友学习~

本文探讨了如何将一个整数数组划分为两个子集A和B，要求子集A元素数量最小且其和大于子集B的和。针对传统贪心算法在特定案例下的不足，文章详细介绍了基于整数线性规划（ILP）的系统性解决方案，包括变量定义、目标函数和约束条件的构建，为解决此类组合优化问题提供了严谨的数学模型。

问题定义：最大和、最小长度子集

给定一个整数数组 nums，我们的目标是将它划分为两个子集 A 和 B，并满足以下条件：

1. 互斥性：子集 A 和 B 的交集为空（A ∩ B = ∅）。
2. 完备性：子集 A 和 B 的并集等于原始数组（A ∪ B = nums）。
3. 最小元素数量：子集 A 中的元素数量应尽可能小。
4. 和的优势：子集 A 中所有元素的和必须严格大于子集 B 中所有元素的和。

如果存在多个满足上述条件的子集 A，我们应返回其中元素和最大的那个。最终返回的子集 A 需按升序排列。

贪心算法的尝试与局限性

一种常见的直观方法是采用贪心策略：首先将数组 nums 降序排序，然后迭代地将元素添加到子集 A，直到子集 A 的和严格大于子集 B 的和。

以下是这种贪心策略的 Python 实现：

def subsetA_greedy(nums):
    nums.sort(reverse=True)  # 降序排序
    subset_a = []
    sum_a = 0
    sum_b = sum(nums)  # 初始时所有元素都在B中，或理解为总和

    for num in nums:
        # 尝试将当前最大元素加入A
        if sum_a <= sum_b - num: # 修正后的判断条件：如果把num从B移到A后，sum_a仍不大于sum_b，则加入A
            sum_a += num
            sum_b -= num
            subset_a.append(num)
        else:
            # 如果不加当前元素，sum_a已经大于sum_b，或者加入后sum_a会变得过大，
            # 导致不满足最小元素数量的条件（尽管这里不是直接判断）
            # 对于原始代码，它的逻辑是：如果sum_a已经大于sum_b，则将剩余元素加入B。
            # 但这可能导致A的元素数量不是最小。
            pass # 原始代码中这里是 sum_b += num，但那是不对的，因为num已经从nums中取出
                 # 正确的贪心思路应该是从最大的元素开始，尽可能地将元素加入A，直到满足条件。
                 # 更准确的贪心是：每次都把最大的元素加到A中，直到 sum_a > sum_b。
                 # 然后再检查是否满足最小元素数量。

    # 修正原始代码的贪心逻辑，使其更符合“不断将最大元素加入A直到满足条件”
    # 原始代码的逻辑：
    # for num in nums:
    #     if sum_a <= sum_b: # 这里的sum_b是动态变化的，表示当前B的和
    #         sum_a += num
    #         subset_a.append(num)
    #     else:
    #         sum_b += num # 这意味着剩余元素被分配到B，但这是基于已经排序的nums的

    # 重新实现一个更清晰的贪心：
    nums.sort(reverse=True)
    subset_a_res = []
    current_sum_a = 0
    total_sum = sum(nums)

    for num in nums:
        if current_sum_a <= (total_sum - current_sum_a): # 检查是否需要继续添加元素到A
            current_sum_a += num
            subset_a_res.append(num)
        else:
            break # 如果A的和已经大于B的和，则停止添加

    # 最终的subset_a_res可能不是最小长度的，需要进一步优化或考虑更全面的方法
    # 实际上，此贪心策略通常是：从大到小排序，不断将元素加入A，直到sum_a > sum(nums) - sum_a
    # 并且A的元素数量最小。

    # 原始代码的逻辑更接近于：
    nums.sort(reverse=True)
    subset_a = []
    sum_a = 0
    sum_b = sum(nums) # sum_b 初始为所有元素的总和

    for num in nums:
        # 每次迭代，num都会被从总和中“取出”，然后决定是加入A还是留在B
        # 如果将num加入A，则sum_a增加num，sum_b减少num
        # 目标是让 sum_a > sum_b

        # 核心判断：如果把当前最大的num加入A，能否让sum_a > sum_b，且尽量保持A的元素少
        # 更准确的贪心：从大到小取元素，放到A中，直到A的和超过剩余元素的和。
        # 并且，如果当前sum_a已经大于sum_b，但还有更大的元素没取，且取了它能让A更小，则应该取。
        # 这个问题本身就复杂，贪心难以覆盖所有情况。

        # 让我们按照原始代码的意图进行模拟和分析
        # 原始代码的意图是：在遍历过程中，如果sum_a仍然不大于sum_b，就将当前元素加入A。
        # 否则，将当前元素加入B。
        # 这里的sum_b实际上是“剩余未分配元素”的和，而不是一个独立的子集B的和。
        # 这种理解下，sum_b应该初始化为0，然后对于未加入A的元素，加到sum_b中。

        # 让我们再次尝试理解和实现原始代码的逻辑：
        # nums.sort(reverse=True)
        # subset_a = []
        # sum_a = 0
        # sum_b = 0 # sum_b 存储未被分配到A的元素的和
        #
        # for num in nums:
        #     if sum_a <= sum_b: # 如果A的和不大于B的和
        #         sum_a += num
        #         subset_a.append(num)
        #     else: # 如果A的和已经大于B的和
        #         sum_b += num # 将剩余元素分配给B
        #
        # return sorted(subset_a)

        # 这个逻辑的问题在于，sum_b的更新方式不正确。
        # 正确的思路应该是：维护一个总和，然后当元素被加入A时，从总和中减去它。
        # 假设所有元素都在B中，然后从B中取出元素加入A。

        # 再次尝试更接近原始问题描述的贪心实现：
        # 目标是：找到最小长度的A，使得 sum(A) > sum(B)。
        # 如果有多个这样的A，选择 sum(A) 最大的。
        # 贪心策略：从大到小排序。每次都将最大的元素加入A。
        # 循环直到 sum(A) > sum(B)。

        # 修正后的贪心实现：
        nums.sort(reverse=True)
        subset_a = []
        sum_a = 0
        total_sum = sum(nums) # 原始数组的总和

        for num in nums:
            # 假设当前元素 num 加入 A
            # 那么 A 的和会变成 sum_a + num
            # B 的和会变成 total_sum - (sum_a + num)
            # 我们需要 sum_a + num > total_sum - (sum_a + num)
            # 简化为 2 * (sum_a + num) > total_sum

            # 如果当前 sum_a 已经满足条件 sum_a > total_sum - sum_a
            # 并且我们还想最小化 A 的长度，那么就不应该再添加元素了。
            # 但问题是，题目要求“如果多个子集存在，返回和最大的那个”，这与最小化长度有冲突。
            # 实际上，是“最小化长度”优先，然后是“最大化和”。

            # 考虑一个更直接的贪心策略：
            # 1. 降序排序 `nums`。
            # 2. 维护 `sum_a` 和 `sum_b` (初始 `sum_b` 为 `total_sum`)。
            # 3. 遍历 `nums`，将每个元素 `num` 依次加入 `subset_a`。
            # 4. 更新 `sum_a += num`，`sum_b -= num`。
            # 5. 一旦 `sum_a > sum_b`，就停止。
            # 这种策略可以保证 `subset_a` 是最短的，因为我们总是从最大的元素开始添加。
            # 它也间接保证了在最短长度下，`sum_a` 尽可能大（因为我们取了最大的那些元素）。

            subset_a.append(num)
            sum_a += num
            total_sum -= num # total_sum 现在代表剩余元素的和，即 sum_b

            if sum_a > total_sum:
                break # 满足条件，停止添加

    return sorted(subset_a)

示例分析：nums = [2,2,2,5]

1. 降序排序：[5, 2, 2, 2]
2. subset_a = [], sum_a = 0, total_sum = 11 (初始 sum_b = 11)

• 第一次迭代 (num = 5):

  • subset_a = [5]
  • sum_a = 5
  • total_sum = 11 - 5 = 6 (此时 sum_b = 6)
  • sum_a (5) 不大于 total_sum (6)。继续。

• 第二次迭代 (num = 2):

  • subset_a = [5, 2]
  • sum_a = 5 + 2 = 7
  • total_sum = 6 - 2 = 4 (此时 sum_b = 4)
  • sum_a (7) 大于 total_sum (4)。停止。

最终返回 sorted([5, 2]) 即 [2, 5]。

然而，根据问题描述，对于 [2,2,2,5] 这个测试用例，期望的答案是 [2,2,2]。 在这种情况下：

• 如果 A = [2,2,2]，sum(A) = 6。
• B = [5]，sum(B) = 5。
• sum(A) > sum(B) 满足。
• len(A) = 3。

而贪心算法得到的 A = [2,5]：

• sum(A) = 7。
• B = [2,2]，sum(B) = 4。
• sum(A) > sum(B) 满足。
• len(A) = 2。

贪心算法得到的 [2,5] 长度更短（2 vs 3），并且和更大（7 vs 6），似乎更符合“最小元素数量”和“最大和”的要求。但是，这可能是对“最小元素数量”的理解偏差，或者题目本身存在歧义。如果“最小元素数量”是绝对优先的，那么 [2,5] 是正确答案。但如果存在一些隐晦的条件，使得 [2,2,2] 成为期望答案，那么贪心算法确实无法解决。

假设题目期望 [2,2,2] 的原因是，在满足 sum(A) > sum(B) 的前提下，[2,2,2] 是在所有长度为 3 的子集中，sum(A) 最大的那个（或者说，[2,2,2] 是一个有效解，而 [2,5] 只是另一种有效解）。但根据“最小元素数量”的条件，[2,5] 应该更优。

这表明，当问题涉及多个相互制约的优化目标（最小长度、最大和）时，简单的贪心策略可能无法找到全局最优解，或者说，贪心策略可能无法处理那些需要“牺牲”局部最优来达到全局最优的情况。对于这类复杂的组合优化问题，整数线性规划（ILP）提供了一个更为系统和严谨的解决方案。

整数线性规划（ILP）解决方案

整数线性规划是一种强大的数学优化工具，适用于解决具有线性目标函数和线性约束条件，且部分或全部决策变量必须是整数的优化问题。本问题可以通过 ILP 进行建模，以确保找到满足所有条件的最优解。

1. 定义决策变量

对于数组 arr 中的每个元素 arr_i，我们引入一个二元决策变量 x_i：

• x_i = 1：如果 arr_i 被分配到子集 A。
• x_i = 0：如果 arr_i 被分配到子集 B。

2. 定义目标函数

根据问题要求，我们首先要最小化子集 A 中的元素数量。这可以直接通过最小化所有 x_i 的和来实现：

目标函数：min ∑_{i} x_i

3. 定义约束条件

我们需要将问题的所有条件转化为线性约束。

约束 1：子集 A 的和必须严格大于子集 B 的和。

子集 A 的和可以表示为 ∑_{i} arr_i * x_i。 子集 B 的和可以表示为 ∑_{i} arr_i * (1 - x_i)。

因此，初始约束为： ∑_{i} arr_i * x_i > ∑_{i} arr_i * (1 - x_i)

由于线性规划模型不能直接处理严格不等式 >，我们需要引入一个小的正容差 t（例如 t = 0.001 或一个足够小的数，取决于 arr_i 的数据类型和精度要求），将严格不等式转换为非严格不等式：

∑_{i} arr_i * x_i >= ∑_{i} arr_i * (1 - x_i) + t

为了简化和方便求解，我们可以进一步整理这个约束： ∑_{i} arr_i * x_i - ∑_{i} arr_i * (1 - x_i) >= t∑_{i} arr_i * x_i - (∑_{i} arr_i - ∑_{i} arr_i * x_i) >= t2 * ∑_{i} arr_i * x_i - ∑_{i} arr_i >= t∑_{i} arr_i * x_i >= (∑_{i} arr_i + t) / 2

这个整理后的约束条件清晰地表达了子集 A 的和必须超过总和的一半加上一个容差。

约束 2：变量 x_i 必须是二元变量。x_i ∈ {0, 1}，对于所有的 i。

约束 3：其他条件（互斥性、完备性） 这些条件通过 x_i 的定义（元素要么在 A，要么在 B）以及上述的求和方式自然满足。

4. 求解 ILP 模型

构建好上述目标函数和约束条件后，可以使用专业的整数线性规划求解器（如 Gurobi, CPLEX, PuLP, SciPy.optimize 等）来找到 x_i 的最优值。这些求解器将自动处理“如果多个子集存在，返回和最大的那个”这一复杂性，因为在最小化长度的前提下，通常会倾向于选择那些能满足条件的“更大”的元素。如果存在多个满足最小长度且和大于 B 的子集 A，且它们的长度相同，但和不同，那么 ILP 求解器通常会选择一个解，但并不保证是和最大的那个，除非将“最大化和”也作为次要目标或通过其他方式（例如在满足最小长度后，再进行一次最大化和的优化）来处理。然而，对于大多数 ILP 求解器，它们在找到一个最优解后就会停止。在实践中，如果严格按照“最小长度优先，其次最大和”的原则，可能需要分两步求解：

1. 首先，如上所述，最小化 ∑ x_i，得到最小长度 L_min。
2. 然后，添加一个新约束 ∑ x_i = L_min，并最大化 ∑ arr_i * x_i。

通过这种 ILP 方法，可以确保在满足所有复杂条件的情况下，找到问题的全局最优解，避免了贪心算法可能存在的局部最优陷阱。

总结

解决“最大和、最小长度子集”问题，尤其是当存在多重优化目标时，简单的贪心策略往往难以奏效。对于 [2,2,2,5] 这样的特定测试用例，贪心算法可能因为其局部决策的性质而无法得到期望的全局最优解。

整数线性规划提供了一个强大的框架来精确建模此类组合优化问题。通过定义二元决策变量、明确的目标函数（最小化子集 A 的元素数量）和将所有条件转化为线性约束（特别是严格不等式的处理），我们可以构建一个数学模型，并利用现有的 ILP 求解器找到满足所有条件的全局最优解。这种方法虽然在实现上可能比贪心算法更复杂，但它能保证解的严谨性和最优性，是处理复杂优化问题的首选方案。

理论要掌握，实操不能落！以上关于《贪心算法局限，整数线性规划解法详解》的详细介绍，大家都掌握了吧！如果想要继续提升自己的能力，那么就来关注golang学习网公众号吧！