动态规划是什么？DP解题步骤全解析

动态规划（DP）是一种解决具有最优子结构和重叠子问题的高效思维框架。本文深入浅出地介绍了动态规划的核心概念、解题步骤和两种常见的实现策略：自底向上与自顶向下。通过识别问题特性、定义DP状态、建立状态转移方程等关键步骤，并结合具体案例，详细阐述了如何判断一个问题是否适合使用DP，以及如何在实践中灵活选择合适的实现方法。理解状态定义和状态转移方程在DP中的重要性，掌握动态规划，提升解决复杂问题的能力。

动态规划适合解决具有最优子结构和重叠子问题的问题，其核心在于通过定义状态和建立状态转移方程，利用自底向上或自顶向下的方法避免重复计算，从而高效求解复杂问题。

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）在我看来，它不是一个具体的算法，而更像是一种解决问题的思维框架，一种处理那些看似复杂、实则内部结构重复且具备“最优子结构”问题的利器。它的核心理念就是：把一个大问题拆解成若干个相互重叠的子问题，然后通过存储这些子问题的解，避免重复计算，从而大幅提升效率。说白了，就是“以空间换时间”的一种高级策略。

解决方案

要解决一个动态规划问题，通常我会遵循以下几个步骤，这更像是一种思考路径，而非死板的教条：

1. 识别问题特性： 首先，我会琢磨这个问题是不是真的适合用DP。它有没有“最优子结构”？也就是说，大问题的最优解能否由子问题的最优解推导出来。其次，有没有“重叠子问题”？就是说，在解决大问题的过程中，是不是会反复遇到相同的子问题。如果这两个特性都满足，那DP就很可能派上用场了。

2. 定义DP状态： 这是最关键的一步，也是最容易让人卡壳的地方。你需要明确dp[i]或者dp[i][j]到底代表什么。它不是一个简单的索引，而是你定义的一个子问题的“解”。比如，在求最长递增子序列时，dp[i]可能代表“以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度”。这个定义清晰了，后续的推导才有了基础。

3. 建立状态转移方程： 有了明确的状态定义，接下来就是找出子问题之间如何相互依赖、如何推导出更大问题的关系。这通常是一个数学表达式，它描述了dp[当前状态]如何由dp[之前状态]计算出来。这就像搭积木，你需要知道每一块积木（子问题的解）如何放置，才能构建出更大的结构。

4. 确定边界条件（Base Cases）： 任何递归或递推都需要一个起始点。DP也一样，你需要明确最简单、最小的子问题的解是什么，它们是整个DP过程的基石。

5. 选择计算顺序： DP问题通常有两种计算方式：自底向上（迭代）或自顶向下（记忆化搜索）。自底向上是从小问题开始，逐步推导出大问题的解；自顶向下则是从大问题开始，遇到未解决的子问题就递归解决并存储。选择哪种取决于个人习惯和问题特性，但目的都是避免重复计算。

6. 实现与优化： 最后一步就是将上述思路转化为代码。在实现过程中，你可能还会发现一些空间或时间上的优化机会，比如“滚动数组”优化空间复杂度。

如何判断一个问题是否适合使用动态规划？

判断一个问题是不是DP的菜，主要看它有没有两大“基因”：最优子结构和重叠子问题。这就像你拿到一个新玩具，首先得看看它是不是电动，需不需要电池。

最优子结构（Optimal Substructure） 是指一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解来构造。举个例子，比如找最短路径问题，如果你知道从A到B的最短路径，那么这条路径上的任何一个中间点C，从A到C的路径也必然是最短的。如果不是，那我们就可以用A到C的最短路径替换掉原路径中A到C的部分，从而得到一条更短的A到B的路径，这与“最短”的定义相矛盾了。这就是最优子结构的体现。它意味着，解决大问题时，我们不需要关心子问题内部是如何达到最优的，只需要知道它们的最优解就行。

重叠子问题（Overlapping Subproblems） 则意味着在解决一个大问题时，我们可能会反复计算同一个子问题。最经典的例子就是斐波那契数列：F(n) = F(n-1) + F(n-2)。当你计算F(5)时，需要F(4)和F(3)；计算F(4)时又需要F(3)和F(2)。你会发现F(3)被计算了两次。如果没有记忆化或DP，随着n的增大，这种重复计算会呈指数级增长，效率非常低下。DP通过存储这些子问题的结果，下次再遇到时直接查表，避免了不必要的重复劳动。

如果一个问题同时具备这两个特性，那么恭喜你，它很可能是一个可以高效地用动态规划解决的问题。

动态规划的两种实现策略：自底向上与自顶向下

在DP的实践中，我们通常有两种主流的实现策略，它们各有千秋，选择哪种往往取决于个人习惯和具体问题的复杂性。

自底向上（Bottom-up / Tabulation / 迭代） 这种方式通常是从最小的、最简单的子问题开始，逐步计算并存储它们的结果，然后利用这些已知的解来推导出更大、更复杂的子问题的解，直到最终得到整个问题的解。它通常通过循环（如for循环）来实现，构建一个DP表（数组或矩阵）。

• 优点： 避免了递归带来的函数调用开销和栈溢出的风险；通常更容易进行空间优化（如滚动数组）；对于某些问题，其迭代结构可能更清晰，易于理解计算依赖关系。
• 缺点： 有时候需要更仔细地思考计算的顺序，以确保在计算某个状态时，其依赖的所有子状态都已经被计算出来了。

自顶向下（Top-down / Memoization / 记忆化搜索） 这种方式更接近我们平时思考递归问题的习惯。它从大问题开始，递归地调用函数来解决子问题。但是，为了避免重复计算，它会使用一个“备忘录”（通常是数组或哈希表）来存储已经计算过的子问题的结果。在计算一个子问题之前，先检查备忘录，如果已经计算过，就直接返回存储的结果；否则，才进行计算并存入备忘录。

• 优点： 代码结构通常与递归定义非常相似，更直观易懂；只计算那些真正需要解决的子问题，对于那些不需要所有子问题解的问题，可能更高效；处理复杂依赖关系时，递归的天然结构可能更易于表达。
• 缺点： 存在递归的函数调用开销；对于深度较大的递归，可能面临栈溢出的风险。

我个人觉得，初学时自顶向下可能更容易理解，因为它更贴近我们平时思考递归问题的习惯。但写代码时，自底向上往往更稳健，尤其在处理大规模数据时，可以有效避免栈溢出等问题。当然，很多时候，这两种实现是可以相互转换的。

动态规划中状态定义与状态转移方程的重要性

在动态规划的世界里，如果说最优子结构和重叠子问题是DNA，那么状态定义和状态转移方程就是这个DNA如何表达，如何构建出生命的蓝图。这几乎是DP里最核心、也最容易让人卡壳的地方。

状态定义（State Definition）：它决定了你dp[i]或者dp[i][j]这些变量到底代表什么。这不是简单的索引，而是你为某个子问题设定的“目标”或“解”。一个好的状态定义，能够清晰地表达子问题的含义，并且能为后续的状态转移方程铺平道路。比如，在解决“背包问题”时，dp[i][j]可能代表“考虑前i件物品，背包容量为j时能获得的最大价值”。这个定义一旦模糊，你就会发现后续的推导寸步难行。它就像你盖房子，状态定义是每一块砖头代表什么（是墙砖、地砖还是屋顶），以及它在整个结构中的位置和作用。

状态转移方程（State Transition Equation）：一旦状态定义清晰了，状态转移方程就是描述这些子问题之间如何相互依赖、如何推导出更大问题的桥梁。它是一个数学表达式或逻辑规则，告诉我们如何从已知的小子问题的解，计算出当前这个大子问题的解。这直接反映了最优子结构的特性。例如，在“最大子数组和”问题中，dp[i]定义为“以第i个元素结尾的最大子数组和”，那么状态转移方程可能是dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])。这意味着，以nums[i]结尾的最大子数组和，要么就是nums[i]本身（如果前面拖后腿），要么就是nums[i]加上前面以nums[i-1]结尾的最大子数组和。这个方程是DP算法的灵魂，它决定了你的算法如何一步步地“生长”出最终的答案。

可以说，状态定义是“是什么”，状态转移方程是“怎么做”。这两者相辅相成，缺一不可。很多时候，DP问题的难点就在于如何巧妙地定义状态，以及如何精准地推导出状态转移方程。一旦这两个核心点被攻克，整个问题的解决思路就会豁然开朗。

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