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Java平衡二叉树旋转详解教程

2025-08-13 10:21:49 0浏览收藏

本篇文章给大家分享《Java实现平衡二叉树旋转操作教程》，覆盖了文章的常见基础知识，其实一个语言的全部知识点一篇文章是不可能说完的，但希望通过这些问题，让读者对自己的掌握程度有一定的认识(B 数)，从而弥补自己的不足，更好的掌握它。

平衡二叉树的旋转操作是为了维持树的平衡性，防止其退化为链表，从而保证查找、插入、删除等操作的时间复杂度稳定在O(log n)。普通的二叉搜索树在插入有序数据时可能严重失衡，导致性能下降至O(n)，而平衡二叉树通过旋转操作（如左旋、右旋）在节点失衡时调整结构，保持左右子树高度差不超过1。常见的平衡二叉树包括AVL树、红黑树、B树和B+树：AVL树严格保持平衡，查找效率高，但频繁旋转影响插入删除性能；红黑树牺牲部分平衡性以减少旋转次数，适合频繁修改的场景，广泛用于Java集合类；B树和B+树为多路平衡树，适用于磁盘存储，其中B+树所有数据存于叶子节点，更支持高效范围查询，常用于数据库索引。测试平衡二叉树需从四个方面进行：1. 验证基本操作正确性，如插入、删除、查找；2. 检查平衡性，确保每次操作后所有节点的平衡因子绝对值不超过1；3. 进行性能测试，统计大量操作下的时间消耗是否符合O(log n)趋势；4. 覆盖边界条件，如空树、单节点、重复值、有序插入等情形。测试时应使用断言自动检测平衡性，结合可视化工具观察树形结构，并确保测试用例覆盖所有旋转情况和代码路径，以保障实现的正确性和鲁棒性。

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平衡二叉树的旋转操作是维持其平衡的关键。简单来说，当二叉树的某个节点左右子树高度差超过1时，就需要通过旋转来调整，避免树退化成链表，影响查找效率。

// 节点类
class Node {
    int data;
    Node left, right;
    int height; // 节点高度

    Node(int d) {
        data = d;
        height = 1; // 新节点高度为1
    }
}

// 平衡二叉树类
class AVLTree {
    Node root;

    // 获取节点高度
    int height(Node node) {
        if (node == null)
            return 0;
        return node.height;
    }

    // 更新节点高度
    void updateHeight(Node node) {
        node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
    }

    // 获取平衡因子（左子树高度 - 右子树高度）
    int getBalance(Node node) {
        if (node == null)
            return 0;
        return height(node.left) - height(node.right);
    }

    // 右旋操作
    Node rightRotate(Node y) {
        Node x = y.left;
        Node T2 = x.right;

        // 执行旋转
        x.right = y;
        y.left = T2;

        // 更新高度
        updateHeight(y);
        updateHeight(x);

        // 返回新的根节点
        return x;
    }

    // 左旋操作
    Node leftRotate(Node x) {
        Node y = x.right;
        Node T2 = y.left;

        // 执行旋转
        y.left = x;
        x.right = T2;

        // 更新高度
        updateHeight(x);
        updateHeight(y);

        // 返回新的根节点
        return y;
    }

    // 插入节点
    Node insert(Node node, int data) {
        // 1. 执行标准BST插入
        if (node == null)
            return (new Node(data));

        if (data < node.data)
            node.left = insert(node.left, data);
        else if (data > node.data)
            node.right = insert(node.right, data);
        else // 不允许重复值
            return node;

        // 2. 更新当前节点的高度
        updateHeight(node);

        // 3. 获取平衡因子
        int balance = getBalance(node);

        // 4. 如果节点不平衡，则有四种情况
        // 左左情况
        if (balance > 1 && data < node.left.data)
            return rightRotate(node);

        // 右右情况
        if (balance < -1 && data > node.right.data)
            return leftRotate(node);

        // 左右情况
        if (balance > 1 && data > node.left.data) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }

        // 右左情况
        if (balance < -1 && data < node.right.data) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }

        return node;
    }

    // 删除节点（简略，完整实现还需要考虑多种情况）
    Node deleteNode(Node root, int data) {
        if (root == null)
            return root;

        if (data < root.data)
            root.left = deleteNode(root.left, data);
        else if (data > root.data)
            root.right = deleteNode(root.right, data);
        else {
            // 节点是要删除的节点

            // 节点只有一个孩子或没有孩子
            if ((root.left == null) || (root.right == null)) {
                Node temp = null;
                if (temp == root.left)
                    temp = root.right;
                else
                    temp = root.left;

                // 没有孩子的情况
                if (temp == null) {
                    temp = root;
                    root = null;
                } else // 一个孩子的情况
                    root = temp; // 复制非空子节点
            } else {
                // 节点有两个孩子：获取中序后继（右子树中的最小节点）
                Node temp = minValueNode(root.right);

                // 将中序后继的值复制到该节点
                root.data = temp.data;

                // 删除中序后继
                root.right = deleteNode(root.right, temp.data);
            }
        }

        // 如果树只有一个节点，则返回
        if (root == null)
            return root;

        // 2. 更新当前节点的高度
        updateHeight(root);

        // 3. 获取平衡因子
        int balance = getBalance(root);

        // 如果节点不平衡，则有四种情况
        // 左左情况
        if (balance > 1 && getBalance(root.left) >= 0)
            return rightRotate(root);

        // 左右情况
        if (balance > 1 && getBalance(root.left) < 0) {
            root.left = leftRotate(root.left);
            return rightRotate(root);
        }

        // 右右情况
        if (balance < -1 && getBalance(root.right) <= 0)
            return leftRotate(root);

        // 右左情况
        if (balance < -1 && getBalance(root.right) > 0) {
            root.right = rightRotate(root.right);
            return leftRotate(root);
        }

        return root;
    }

    Node minValueNode(Node node) {
        Node current = node;

        /* 循环下降到最左边的叶子 */
        while (current.left != null)
            current = current.left;

        return current;
    }


    // 打印树（中序遍历）
    void preOrder(Node node) {
        if (node != null) {
            System.out.print(node.data + " ");
            preOrder(node.left);
            preOrder(node.right);
        }
    }
}


public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        AVLTree tree = new AVLTree();
        tree.root = tree.insert(tree.root, 10);
        tree.root = tree.insert(tree.root, 20);
        tree.root = tree.insert(tree.root, 30);
        tree.root = tree.insert(tree.root, 40);
        tree.root = tree.insert(tree.root, 50);
        tree.root = tree.insert(tree.root, 25);

        System.out.println("Preorder traversal of constructed AVL tree is: ");
        tree.preOrder(tree.root);

        tree.root = tree.deleteNode(tree.root, 30);

        System.out.println("\nPreorder traversal after deletion of 30: ");
        tree.preOrder(tree.root);
    }
}

平衡二叉树的旋转操作，本质上是在维持二叉搜索树的性质（左子树小于根节点，右子树大于根节点）的前提下，调整树的结构，使其更加平衡。

为什么需要平衡二叉树？普通的二叉搜索树有什么问题？

普通的二叉搜索树在最坏情况下，可能退化成一个链表，导致查找、插入、删除等操作的时间复杂度从O(log n) 变成 O(n)。平衡二叉树通过旋转等操作，始终保持树的平衡，保证操作的时间复杂度维持在O(log n)级别。这对于需要频繁进行查找、插入、删除操作的应用场景非常重要。比如数据库索引，如果使用非平衡的二叉搜索树，性能会急剧下降。

除了AVL树，还有哪些常见的平衡二叉树？它们的区别是什么？

除了AVL树，常见的平衡二叉树还有红黑树、B树、B+树等。它们在平衡策略、实现复杂度、适用场景等方面有所不同：

红黑树: 是一种近似平衡的二叉搜索树，通过对节点着色来维持平衡。相对于AVL树，红黑树的平衡性稍差，但插入、删除操作的平均性能更好，因为旋转次数更少。红黑树广泛应用于Java的TreeMap和TreeSet等数据结构中。
B树: 是一种多路搜索树，适合在磁盘等外部存储设备上使用。B树的特点是每个节点可以存储多个键值对，降低了树的高度，减少了磁盘I/O次数。
B+树: 是B树的变种，所有数据都存储在叶子节点上，非叶子节点只存储索引。B+树更适合范围查询，也更常用于数据库索引。

选择哪种平衡二叉树，取决于具体的应用场景和性能需求。如果插入、删除操作频繁，且对查找性能要求不是特别高，可以选择红黑树。如果数据存储在磁盘上，且需要支持范围查询，可以选择B+树。