最大子数组问题和kadane算法

哈喽！今天心血来潮给大家带来了《最大子数组问题和kadane算法》，想必大家应该对文章都不陌生吧，那么阅读本文就都不会很困难，以下内容主要涉及到，若是你正在学习文章，千万别错过这篇文章~希望能帮助到你！

最大子数组问题及其历史

20世纪70年代末，瑞典数学家ulf grenander一直在讨论一个问题：如何比暴力破解更有效地分析二维图像数据数组？那时的计算机速度很慢，图片相对于 ram 来说也很大。更糟糕的是，在最坏的情况下，暴力破解需要 o(n^6) 时间（六次时间复杂度）。

首先，grenandier 简化了问题：给定一个一维数字数组，如何最有效地找到总和最大的连续子数组？

蛮力：一种具有立方时间复杂度的简单方法

蛮力，分析一维数组的时间是分析二维数组的一半，所以 o(n^3) 来检查每个可能的组合（立方时间复杂度）。

def max_subarray_brute_force(arr):
    max_sum = arr[0] # assumes arr has a length

    # iterate over all possible subarrays
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i, len(arr)):
            current_sum = 0
            # sum the elements of the subarray arr[i:j+1]
            for k in range(i, j + 1):
                current_sum += arr[k]
            # update max_sum if the current sum is greater
            max_sum = max(max_sum, current_sum)

    return max_sum

print(max_subarray_brute_force([-2, -3, 4, -1, -2, 1, 5, -3]), "== 7")

grenander 的 o(n²) 优化：向前迈出了一步

grenander 将其改进为 o(n^2) 解决方案。我在研究中找不到他的代码，但我的猜测是他只是摆脱了最内层的循环，该循环将两个索引之间的所有数字相加。相反，我们可以在迭代子数组时保留运行总和，从而将循环次数从三个减少到两个。

def max_subarray_optimized(arr):
    max_sum = arr[0]  # assumes arr has a length

    # iterate over all possible starting points of the subarray
    for i in range(len(arr)):
        current_sum = 0
        # sum the elements of the subarray starting from arr[i]
        for j in range(i, len(arr)):
            current_sum += arr[j]
            # update max_sum if the current sum is greater
            max_sum = max(max_sum, current_sum)

    return max_sum

shamos 的分而治之：将问题分解为 o(n log n)

grenander 向计算机科学家 michael shamos 展示了这个问题。 shamos思考了一晚上，想出了一个分而治之的方法，o(n log n)。

真是太聪明了。想法是将数组分成两半，然后递归地找到每一半的最大子数组和以及穿过中点的子数组。

def max_crossing_sum(arr, left, mid, right):
    # left of mid
    left_sum = float('-inf')
    current_sum = 0
    for i in range(mid, left - 1, -1):
        current_sum += arr[i]
        left_sum = max(left_sum, current_sum)

    # right of mid
    right_sum = float('inf')
    current_sum = 0
    for i in range(mid + 1, right + 1):
        current_sum += arr[i]
        right_sum = max(right_sum, current_sum)

    # sum of elements on the left and right of mid, which is the maximum sum that crosses the midpoint
    return left_sum + right_sum

def max_subarray_divide_and_conquer(arr, left, right):
    # base case: only one element
    if left == right:
        return arr[left]

    # find the midpoint
    mid = (left + right) // 2

    # recursively find the maximum subarray sum for the left and right halves
    left_sum = max_subarray_divide_and_conquer(arr, left, mid)
    right_sum = max_subarray_divide_and_conquer(arr, mid + 1, right)
    cross_sum = max_crossing_sum(arr, left, mid, right)

    # return the maximum of the three possible cases
    return max(left_sum, right_sum, cross_sum)

def max_subarray(arr):
    return max_subarray_divide_and_conquer(arr, 0, len(arr) - 1)


print(max_subarray([-2, -3, 4, -1, -2, 1, 5, -3]), "== 7")

这将时间复杂度降低到 o(nlogn) 时间，因为首先将数组分为两半 (o(logn))，然后找到最大交叉子数组需要 o(n)

kadane 算法：优雅的 o(n) 解决方案

统计学家 jay kadane 看了代码，立即发现 shamos 的解决方案未能使用邻接约束作为解决方案的一部分。

这是他意识到的

-如果数组只有负数，那么答案将始终是数组中最大的数字，假设我们不允许空子数组。

-如果数组只有正数，答案总是将整个数组相加。

-如果你有一个同时包含正数和负数的数组，那么你可以一步步遍历该数组。如果在任何时候您正在查看的数字大于其之前的所有数字的总和，则解决方案不能包含任何先前的数字。因此，您从当前数字开始一个新的总和，同时跟踪迄今为止遇到的最大总和。

maxSubArray(nums):
    # avoiding type errors or index out of bounds errors
    if nums is None or len(nums) == 0:
        return 0


    max_sum = nums[0]  # max sum can't be smaller than any given element
    curr_sum = 0

    # Kadane's algorithm
    for num in nums:
        curr_sum = max(num, curr_sum + num)
        max_sum = max(curr_sum, max_sum)
    return max_sum

我喜欢这个算法的原因是它可以应用于许多其他问题。尝试调整它来解决这些 leetcode 问题：

一和零
圆形子数组的最大和
最小子数组总和
最大升序子数组和
最大产品子数组
连续子数组和
最大交替和子数组（高级）
矩形的最大和不大于 k

到这里，我们也就讲完了《最大子数组问题和kadane算法》的内容了。个人认为，基础知识的学习和巩固，是为了更好的将其运用到项目中，欢迎关注golang学习网公众号，带你了解更多关于的知识点！